Как описать математически нейронную сеть? - коротко
Нейронная сеть математически описывается как граф, где вершины представляют нейроны, а ребра - весовые коэффициенты. Функция активации применяется к взвешенной сумме входов каждого нейрона для вычисления его выходного значения.
Как описать математически нейронную сеть? - развернуто
Описание математической структуры нейронной сети является фундаментальным шагом в понимании и применении этих мощных инструментов. Нейронная сеть представляет собой граф, где узлы (нейроны) связаны между собой с помощью весов. Каждый нейрон получает на вход сигнал, который является суммой произведений весов и входов, а затем применяет к этой сумме нелинейную функцию для получения выходного значения.
Формально, пусть ( xi ) - входные значения, ( w{ij} ) - веса между нейронами ( i ) и ( j ), а ( b_j ) - смещения (биасы). Тогда выходное значение ( y_j ) нейрона ( j ) можно описать следующим образом:
[ yj = f\left( \sum{i} w_{ij} x_i + b_j \right), ]
где ( f ) - нелинейная активационная функция, такая как сигмоида, гиперболический тангенс или ReLU (Rectified Linear Unit).
В многослойных перцептронах, которые являются наиболее распространённым типом нейронных сетей, узлы организованы в слои. Входной слой принимает начальные данные, выходной слой генерирует конечный результат, а промежуточные (скрытые) слои обрабатывают и преобразуют информацию.
Математически, пусть ( L ) - количество слоев, ( n^{(l)} ) - число нейронов в слое ( l ), а ( W^{(l)} ) - матрица весов между слоями ( l-1 ) и ( l ). Тогда выходное значение ( a^{(l)} ) слоя ( l ) можно записать как:
[ a^{(l)} = f\left( W^{(l)} a^{(l-1)} + b^{(l)} \right), ]
где ( a^{(0)} ) - входные данные, а ( b^{(l)} ) - вектор смещений для слоя ( l ).
Эта математическая формулировка позволяет не только описать структуру нейронной сети, но и анализировать её поведение, оптимизировать параметры и разрабатывать новые архитектуры для решения сложных задач.